Question

【題目】如圖所示，面，點A在直線上的射影為，點B在直線上的射影為，連接，已知，

（Ⅰ）求四面體的體積

（Ⅱ）求二面角的余弦.

Answer 1

【答案】（1）體積V= （2）余弦值為

【解析】

【試題分析】（1）先依據題設條件推證并確定四面體的底面與高，再求底面面積與高的值，運用三棱錐的體積公式進行求解；（2）建立空間直角坐標系，先求兩個平面的法向量，運用向量的數量積公式求出兩法向量的夾角的余弦，然后借助二面角的平面角與兩法向量的夾角之間的關系求解：

解：（1）如圖，因，又，則，又，故；同理可知： ，所以， ，故四面體的體積；

（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設平面的法向量為，則，令，故；設平面的法向量為，則，令，故，故由向量的數量積公式可得，而，所以，由于兩法向量所成的角與二面角的平面角互補，所以二面角的余弦值為。