Question

【題目】已知函數，.

(Ⅰ)當時，求證：過點有三條直線與曲線相切；

(Ⅱ)當時，，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).

【解析】試題分析：

(1)，設直線與曲線相切，其切點為，求出切線方程，且切線過點，可得，判斷方程有三個不的根，則結論易得；

(2) 易得當時，，設，則，設，則，分、兩種情況討論函數的單調性并求出最小值，即可得出結論；

法二：

(1)同法一得，設，求導判斷函數的單調性，判斷函數的零點個數，即可得出結論；

(2)同法一.

試題解析：

解法一：(Ⅰ)當時，，

設直線與曲線相切，其切點為，

則曲線在點處的切線方程為：，

因為切線過點，所以，

即，

，，

設，

,,,

在三個區間,,上至少各有一個根

又因為一元三次方程至多有三個根，所以方程恰有三個根，

故過點有三條直線與曲線相切.

(Ⅱ)當時，，即當時，

當時，，

設，則，

設，則.

(1)當時，，從而(當且僅當時，等號成立)

在上單調遞增，

又當時，，從而當時，，

在上單調遞減，又，

從而當時，，即

于是當時，，

(2)當時，令，得

故當時,,

在上單調遞減，

又當時，，

從而當時，，

在上單調遞增，又，

從而當時，，即

于是當時，，

綜合得的取值范圍為.

解法二：(Ⅰ)當時，，

，

設直線與曲線相切，其切點為，

則曲線在點處的切線方程為，

因為切線過點，所以，

即，

，

設，則，令得

當變化時，變化情況如下表：

恰有三個根，

故過點有三條直線與曲線相切.

(Ⅱ)同解法一.