Question

【題目】已知函數，．

（Ⅰ）若，討論函數的單調性；

（Ⅱ）若對任意的，都有，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）分類討論，詳見解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）求導后，分別在、和三種情況下求得的正負，由此可確定單調性；

（Ⅱ）令，分別在、和三種情況下，利用導數確定單調性和最值，進而確定符合題意的取值范圍.

（Ⅰ）由題意得：定義域為，

則，

①當時，

由可得：或；由可得：；

的單調增區間為，，單調遞減區間為；

②當時，則，此時的單調遞增區間為；

③當時，

由可得：或；由可得：；

的單調增區間為，，單調遞減區間為；

綜上所述：當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減．

（Ⅱ）令，則，

，

①當時，令，解得：，，

，，

當時，，在上單調遞增，

，滿足題意；

②當時，由①知：，

當時，，在上單調遞減，

則當時，，不合題意；

③當時，，則，在上單調遞減，

當時，，不合題意；

綜上所述：實數的取值范圍為.