Question

【題目】在如圖所示的四棱錐中，四邊形為平行四邊形，為邊長為2的等邊三角形，，點，分別為，的中點，是異面直線和的公垂線．

（1）證明：平面平面；

（2）記的重心為，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）為的中點，利用等邊三角形的性質可得，根據是異面直線與的公垂線，可得．可得平面．進而得出：平面平面．

（2）根據，為中點，可得，又是異面直線與的公垂線，可得，可得：平面．建立如圖所示的空間直角坐標系．設平面的一個法向量為，可得，由，，的坐標可得的重心．設直線與平面所成角為，則，．

解：（1）證明：因為為的中點，所以在等邊中，

又因為是異面直線和的公垂線，所以

又因為，平面，所以平面

因為平面，所以平面平面

（2）因為、為中點，所以，又因為是異面直線和的公垂線，

所以，，所以為等腰直角三角形

連接，，

因為，平面，平面平面且平面平面

所以平面

因此，以為原點，分別以、、所在的直線為、、軸建系如圖所示：

則，，，

因為四邊形為平行四邊形，設

因為，所以

所以

設面的一個法向量為

，

由

令，則，，所以

因為，，，

所以的重心為的坐標為，

設直線與平面所成角為，則