Question

【題目】設函數.

（1）若函數有兩個極值點，求實數的取值范圍；

（2）設，若當時，函數的兩個極值點滿足，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）求函數求導，對參數進行分類討論，根據函數單調性，即可求得結果；

（2）根據題意，先求得的范圍，再利用進行適度放縮，即可由對勾函數單調性，容易證明.

（1）由已知，可知函數的定義域為，

在上有兩個零點，

設，

，

當時，，為增函數，不存在兩個零點；

當時，，得，

時，，為增函數，

時，，為減函數.

且此時當趨近于時，趨近于負無窮；當趨近于正無窮時，趨近于負無窮.

故要滿足題意，只需：，

，

實數的取值范圍是.

（2）證明：，

，

由的兩根為，故可得，，，

又，

，

解得，

，

設，

則，

當時，，為增函數，

當時，，為減函數，

，

，

，

令，則，

在時單調遞減，

，

成立.