Question

已知橢圓的焦距為2，且過點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的左右焦點分別為，，過點的直線與橢圓C交于兩點.
①當直線的傾斜角為時，求的長；
②求的內切圓的面積的最大值，并求出當的內切圓的面積取最大值時直線的方程.

Answer 1

（1）橢圓C的方程為；（2）（1）的長為；（2）當的內切圓的面積取最大值時直線的方程為.

試題分析：（1）由已知得，且，聯立可求得橢圓方程；
（2）（1）聯立橢圓與直線方程，由弦長公式可直接求出的長；（2）設直線的方程為，與橢圓方程聯立消去，得，而；
利用均值不等式和函數單調性的性質可得當時，有最大值3，這時的內切圓面積的最大值為，直線的方程為.
試題解析：（1）由已知，得，且，解得，
故橢圓C的方程為；                                4分
（2）①由，消去得，             6分
則；                                9分
②設直線的方程為，由，得，顯然，
設，則有，
設的內切圓半徑為，由可知，
當最大時，也最大，的內切圓面積也最大.
由      12分
令，則，且，則，
令，則，從而在區間上單調遞增，故有
所以，即當，時，有最大值3，即，
這時的內切圓面積的最大值為，直線的方程為.          14分