Question

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，且過(guò)點(diǎn)A(0，1)．
 
(1)求橢圓的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于點(diǎn)M、N，求證：直線MN恒過(guò)定點(diǎn)P.

Answer 1

（1）＋y²＝1.（2）見解析

(1)解：由題意知：e＝＝，b＝1，a²－c²＝1，解得a＝2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y²＝1.
(2)證明：設(shè)直線AM的方程為y＝kx＋1(k≠0)，由方程組得(4k²＋1)x²＋8kx＝0，解得x₁＝，x₂＝0，所以x_M＝，y_M＝.用－代替上面的k，可得x_N＝，y_N＝.因?yàn)閗_MP＝，k_NP＝，所以k_MP＝k_NP，因?yàn)镸P、NP共點(diǎn)于P，所以M、N、P三點(diǎn)共線，故直線MN恒過(guò)定點(diǎn)P.