Question

已知橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率為，與過右焦點F且斜率為k(k>0)的直線相交于A、B兩點．若＝3，則k＝________．

Answer 1

k＝

定點F分線段AB成比例，從而分別可以得出A、B兩點橫坐標之間關系式、縱坐標之間關系式，再把A、B點的坐標代入橢圓方程＝1，四個方程聯立方程組，解出根，得出A、B兩點的坐標，進而求出直線AB的方程．
由已知e＝，所以a＝2b，
所以a＝c，b＝.橢圓方程＝1變為x²＋3y²＝c².
設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，又＝3，
所以(c－x₁，－y₁)＝3(x₂－c，y₂)，所以所以
＋3＝c²，①＋3＝c²，②
①－9×②，得(x₁＋3x₂)(x₁－3x₂)＋3(y₁＋3y₂)(y₁－3y₂)＝－8c²，所以×4c(x₁－3x₂)＝－8c²，
所以x₁－3x₂＝－c，所以x₁＝c，x₂＝c.從而y₁＝－c，y₂＝c，
所以A，B，故k＝.