Question

【題目】求下列曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）與橢圓x2+4y2=16有相同焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)p（ ， ），求此橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，且焦點(diǎn)在直線(xiàn)3x﹣4y﹣12=0的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

【答案】
解：（1）∵橢圓x2+4y2=16，∴，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），
設(shè)所求橢圓方程為，（a＞b＞0），其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），
∴c2=12=a2﹣b2 ， ①
又∵橢圓過(guò)點(diǎn)P（，），∴=1，②
解①②組成的方程組得，
∴橢圓方程為．
（2）∵拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在直線(xiàn)3x﹣4y﹣12=0上，
∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3）或（4，0）．
當(dāng)焦點(diǎn)（0，﹣3）時(shí)，
設(shè)拋物線(xiàn)方程為x2=﹣2py，=3，p=6拋物線(xiàn)方程為x2=﹣12y，
當(dāng)焦點(diǎn)（4，0）時(shí)，
設(shè)拋物線(xiàn)方程為y2=2px，=4，p=8拋物線(xiàn)方程為y2=16x．
∴拋物線(xiàn)方程為y2=16x或x2=﹣12y．
【解析】（1）所求橢圓方程為 ， （a＞b＞0），其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， 0），再由橢圓過(guò)點(diǎn)P（ ， ），能求出a，b，從而能求出橢圓方程．
（2）由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在直線(xiàn)3x﹣4y﹣12=0上，得焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3）或（4，0），由此能求出拋物線(xiàn)方程．