Question

【題目】如圖，圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，點是圓弧上的一動點（不與重合），點是圓弧的中點，且點在平面的兩側.

（1）證明：平面平面；

（2）設點在平面上的射影為點，點分別是和的重心，當三棱錐體積最大時，回答下列問題.

（ⅰ）證明：平面；

（ⅱ）求平面與平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（ⅰ）見解析（ⅱ）

【解析】

（1）證明垂直平面內的兩條相交直線，再利用面面垂直的判定定理證明即可；

（2）當三棱錐體積最大時，點為圓弧的中點，所以點為圓弧的中點，所以四邊形為正方形，且平面.（ⅰ）連接并延長交于點，連接并延長交于點，連接，則，再由線面平行的判定定理證得結論；（ⅱ）由平面垂直，所以以為坐標原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，平面的法向量，求兩向量夾角的余弦值，進而得到二面角的正弦值.

（1）因為是軸截面，所以平面，所以，

又點是圓弧上的一動點（不與重合），且為直徑，所以，

又平面平面，所以平面，而平面，故平面平面.

（2）當三棱錐體積最大時，點為圓弧的中點，所以點為圓弧的中點，所以四邊形為正方形，且平面.

（ⅰ）連接并延長交于點，連接并延長交于點，連接，則，

因為分別為兩個三角形的重心，∴，

所以，又平面平面，所以平面.

（ⅱ）平面垂直，所以以為坐標原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

則，設平面的法向量，則即可取，

又平面的法向量，

所以，所以.

所以平面與平面所成二面角的正弦值為.