Question

【題目】

已知函數f（x）＝－bx＋lnx（a，b∈R）．

（Ⅰ）若a＝b＝1，求f（x）點（1，f（1））處的切線方程；

（Ⅱ）設a＜0，求f（x）的單調區間；

（Ⅲ）設a＜0，且對任意的x＞0，f（x）≤f（2），試比較ln（－a）與－2b的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）單調遞增區間是，單調遞減區間是;（Ⅲ）.

【解析】

試題（Ⅰ）時，對函數求導，由導數的幾何意義，可得切線的斜率，由點斜式可得切線方程；（Ⅱ）對函數求導，當時，，得，由，得．顯然，，

當時，，函數單調遞增;當時，，函數單調遞減，可得其單調區間；（Ⅲ）要比較ln（－a）與－2b的大小可用作差法，由（Ⅱ）知，是的唯一的極大值點，由f（x）≤f（2），知函數在處取得最大值，可得，即，

構造函數，求導可得．令，得，

當時，單調遞增；當時，單調遞減，是的最大值，即≤，進而得，即證．

試題解析：（Ⅰ）時，，， 1分

∴，， 2分

故點處的切線方程是． 3分

（Ⅱ）由，得． 4分

當時，，得，由，

得． 顯然，，

當時，，函數單調遞增;當時，，函數單調遞減，

∴的單調遞增區間是，單調遞減區間是． 8分

（Ⅲ）由題意知函數在處取得最大值．由（Ⅱ）知，是的唯一的極大值點，

故，整理得. 9分

于是

令，則．令，得，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減． 10分

因此對任意，≤，又，

故，即，即，

∴． 12分