Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)

（1）求直線與直線斜率的乘積；

（2）若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)、，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入橢圓的方程，并將所得兩式相減，利用點(diǎn)差法可計(jì)算出直線與直線斜率的乘積；

（2）將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去，列出韋達(dá)定理，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出，由（1）可知，直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，求出，再由可得出關(guān)于的方程，解出即可得出直線的方程.

（1）設(shè)，，，則，

兩式相減得，

即，

所以，所以；

（2）直線的方程為，與橢圓聯(lián)立得，

消去得，

所以，，

所以，，

，

所以，

直線的方程為：，聯(lián)立，得

而，

，

所以，

所以，所以，

所以直線的方程為，即.