Question

已知橢圓C：x²+2y²=4，
（1）求橢圓C的離心率
（2）設O為原點，若點A在橢圓C上，點B在直線y=2上，且OA⊥OB，求直線AB與圓x²+y²=2的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

考點：圓與圓錐曲線的綜合,橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）化橢圓方程為標準式，求出半長軸和短半軸，結合隱含條件求出半焦距，則橢圓的離心率可求；
（2）設出點A，B的坐標分別為（x₀，y₀），（t，2），其中x₀≠0，由OA⊥OB得到

OA

•

OB

=0，用坐標表示后把t用含有A點的坐標表示，然后分A，B的橫坐標相等和不相等寫出直線AB的方程，然后由圓x²+y²=2的圓心到AB的距離和圓的半徑相等說明直線AB與圓x²+y²=2相切．

解答： 解：（1）由x²+2y²=4，得橢圓C的標準方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
∴a²=4，b²=2，從而c²=a²-b²=2．
因此a=2，c=

2

．
故橢圓C的離心率e=

c

a

=

2

2

；
（2）直線AB與圓x²+y²=2相切．
證明如下：
設點A，B的坐標分別為（x₀，y₀），（t，2），其中x₀≠0．
∵OA⊥OB，
∴

OA

•

OB

=0，即tx₀+2y₀=0，解得t=-

2y0

x0

．
當x₀=t時，y0=-

t2

2

，代入橢圓C的方程，得t=±

2

．
故直線AB的方程為x=±

2

，圓心O到直線AB的距離d=

2

．
此時直線AB與圓x²+y²=2相切．
當x₀≠t時，直線AB的方程為y-2=

y0-2

x0-t

(x-t)，
即（y₀-2）x-（x₀-t）y+2x₀-ty₀=0．
圓心O到直線AB的距離d=

|2x0-ty0|

(y0-2)2+(x0-t)2

．
又x02+2y02=4，t=-

2y0

x0

．
故d=

|2x0+ 2y02 x0 |

x02+y02+ 4y02 x02 +4

=

| 4+x02 x0 |

x04+8x02+16 2x02

=

2

．
此時直線AB與圓x²+y²=2相切．

點評：本題考查橢圓的簡單幾何性質，考查了圓與圓錐曲線的綜合，訓練了由圓心到直線的距離判斷直線和圓的位置關系，體現了分類討論的數學思想方法，考查了計算能力和邏輯思維能力，是壓軸題．