Question

在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場價格和這塊地上的產量均具有隨機性，且互不影響，其具體情況如下表：

作物產量（kg）	300	500
概率	0.5	0.5

作物市場價格（元/kg）	6	10
概率	0.4	0.6

（Ⅰ）設X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列；
（Ⅱ）若在這塊地上連續3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）分別求出對應的概率，即可求X的分布列；
（Ⅱ）分別求出3季中有2季的利潤不少于2000元的概率和3季中利潤不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）設A表示事件“作物產量為300kg”，B表示事件“作物市場價格為6元/kg”，
則P（A）=0.5，P（B）=0.4，
∵利潤=產量×市場價格-成本，
∴X的所有值為：
500×10-1000=4000，500×6-1000=2000，
300×10-1000=2000，300×6-1000=800，
則P（X=4000）=P（

.

A

）P（

.

B

）=（1-0.5）×（1-0.4）=0.3，
P（X=2000）=P（

.

A

）P（B）+P（A）P（

.

B

）=（1-0.5）×0.4+0.5（1-0.4）=0.5，
P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，
則X的分布列為：

X	4000	2000	800
P	0.3	0.5	0.2

（Ⅱ）設C_i表示事件“第i季利潤不少于2000元”（i=1，2，3），
則C₁，C₂，C₃相互獨立，
由（Ⅰ）知，P（C_i）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），
3季的利潤均不少于2000的概率為P（C₁C₂C₃）=P（C₁）P（C₂）P（C₃）=0.8³=0.512，
3季的利潤有2季不少于2000的概率為P（

.

C1

C₂C₃）+P（C₁

.

C2

C₃）+P（C₁C₂

.

C3

）=3×0.8²×0.2=0.384，
綜上：這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率為：0.512+0.384=0.896．

點評：本題主要考查隨機變量的分布列及其概率的計算，考查學生的計算能力．