Question

某大學志愿者協會有6名男同學，4名女同學，在這10名同學中，3名同學來自數學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院，現從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動（每位同學被選到的可能性相同）．
（Ⅰ）求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率；
（Ⅱ）設X為選出的3名同學中女同學的人數，求隨機變量X的分布列和數學期望．

Answer 1

考點：古典概型及其概率計算公式,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）利用排列組合求出所有基本事件個數及選出的3名同學是來自互不相同學院的基本事件個數，代入古典概型概率公式求出值；
（Ⅱ）隨機變量X的所有可能值為0，1，2，3，P(X=k)=

C k 4 C 3-k 6

C 3 10

（k=0，1，2，3）列出隨機變量X的分布列求出期望值．

解答： （Ⅰ）解：設“選出的3名同學是來自互不相同學院”為事件A，
則P(A)=

C 1 3 C 2 7 + C 0 3 C 3 7

C 3 10

=

49

60

，
所以選出的3名同學是來自互不相同學院的概率為

49

60

．
（Ⅱ）解：隨機變量X的所有可能值為0，1，2，3，P(X=k)=

C k 4 C 3-k 6

C 3 10

（k=0，1，2，3）
所以隨機變量X的分布列是

X	0	1	2	3
P	1 6	1 2	3 10	1 30

隨機變量X的數學期望E(X)=0×

1

6

+1×

1

2

+2×

3

10

+3×

1

30

=

6

5

．

點評：本題考查古典概型及其概率公式，互斥事件，離散型隨機變量的分布列與數學期望，考查應用概率解決實際問題的能力．