Question

【題目】如下為簡化的計劃生育模型：每個家庭允許生男孩最多一個，即某一胎若為男孩，則不能再生下一胎，而女孩可以多個.為方便起見，此處約定每個家庭最多可生育3個小孩，即若第一胎或前兩胎為女孩，則繼續生，但若第三胎還是女孩，則不能再生了.設每一胎生男生女等可能，且各次生育相互獨立.依據每個家庭最多生育一個男孩的政策以及我們對生育女孩的約定，令為某一家庭所生的女孩數，為此家庭所生的男孩數.

（1）求，的分布列，并比較它們數學期望的大小；

（2）求概率，其中為的方差.

Answer 1

【答案】（1）分布列見解析：（2）

【解析】

（1）易知的取值為0，1，2，3，的取值為0，1，利用相互獨立的事件的概率公式求出相應概率，由此可得分布列，再根據數學期望的計算公式求出期望，進而比較大小；

（2）結合公式求出方差，再根據互斥事件的概率加法公式即可求出結果．

解：（1）易知的取值為0，1，2，3，對應取值的概率為別為：

，，，

即得的分布列如下

	0	1	2	3

類似地，的取值為0，1，對應取值的概率分別為：

，；

得的分布列如下：

	0	1

由，的分布列可得它們的期望分別為：

，

，

因此；

（2），

故．