Question

【題目】已知直線，斜率為的直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)，過作x 軸的平行線，交于點(diǎn)，過作y軸的平行線，交于點(diǎn)，再過作x軸的平行線交于點(diǎn)，…，這樣依次得線段、、、、…、、，記為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先由題設(shè)條件得出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)它們之間的關(guān)系求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì)求出.

解：∵斜率為的直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)，直線，

∴A1（a，a）.

∵A1B0∥x軸，∴B1（a，aq+a），A2（aq+a，aq+a）.

∵B1A2∥x軸，∴B2（aq+a，aq2+aq+a）.

同理可得：A3（aq2+aq+a，aq2+aq+a），

B3（aq2+aq+a，aq3+aq2+aq+a），…，

Bn（aqn﹣1+aqn﹣2+aqn﹣3+…aq2+aq+a，aqn+aqn﹣1+aqn﹣2+aqn﹣3+…aq2+aq+a），

∵xn為點(diǎn)Bn的橫坐標(biāo)，

∴xn＝aqn﹣1+aqn﹣2+aqn﹣3+…aq2+aq+a.

故xn是首項(xiàng)為a，公比為q（0＜q＜1）的等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和，

由數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì)得：.

故答案為：.