Question

【題目】如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是菱形，PC⊥BC，點E是PC的中點，且平面PBC⊥平面ABCD.求證：

（1）求證：PA∥平面BDE；

（2）求證：平面PAC⊥平面BDE.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；

【解析】

（1）設(shè)ACBD＝O，連結(jié)OE，從而可得AP//OE，再利用線面平行的判定定理即可證出.

（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得PC平面ABCD，即證出PCBD，再由ACBD，根據(jù)線面垂直的判定定理可得BD平面PAC，最后利用面面垂直的判定定理即可證出.

證明：（1）設(shè)ACBD＝O，連結(jié)OE，

因為底面ABCD是菱形，故O為BD中點，

又因為點E是PC的中點，

所以AP//OE，又因為OE平面BDE，AP平面BDE，

所以AP//平面BDE.

（2）因為平面PBC平面ABCD，PCBC，

平面PBC平面ABCD＝BC，PC平面PBC，

所以PC平面ABCD

又BD平面ABCD，所以PCBD，∵ABCD是菱形，∴ACBD，

又PCBD，ACPC＝C，AC平面PAC，PC平面PAC，

所以BD平面PAC

又BD平面BDE，所以平面PAC平面BDE.