Question

10．已知橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，左、右焦點分別為F₁、F₂，定點，P（2，$\sqrt{3}$），點F₂在線段PF₁的中垂線上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點，直線F₂M、F₂N的傾斜角分別為α、β且α+β=π，求證：直線l過定點，并求該定點的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率求得a=$\sqrt{2}$c，且丨F₁F₂丨=丨PF₂丨，利用勾股定理即可求得c及a和b的值；
（Ⅱ）將直線代入橢圓方程，利用直線的斜率公式求得${k}_{{F}_{1}M}$=$\frac{k{x}_{1}+m}{{x}_{1}-1}$，${k}_{{F}_{1}N}$=$\frac{k{x}_{2}+m}{{x}_{2}-1}$，由${k}_{{F}_{1}M}$+${k}_{{F}_{1}N}$=0，結合韋達定理，即可求得m=-2k．則直線MN過定點，該定點的坐標為（2，0）．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$c，
橢圓C的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F₂（c，0），又點F₂在線段PF₁的中垂線上
∴丨F₁F₂丨=丨PF₂丨，∴（2c）²=（$\sqrt{3}$）²+（2-c）²，解得：c=1，
則a=$\sqrt{2}$，b²=a²-c²=1，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）證明：由題意，知直線MN存在斜率，設其方程為y=kx+m
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0．
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
且${k}_{{F}_{1}M}$=$\frac{k{x}_{1}+m}{{x}_{1}-1}$，${k}_{{F}_{1}N}$=$\frac{k{x}_{2}+m}{{x}_{2}-1}$
由已知α+β=π，得${k}_{{F}_{1}M}$+${k}_{{F}_{1}N}$=0，即$\frac{k{x}_{1}+m}{{x}_{1}-1}$+$\frac{k{x}_{2}+m}{{x}_{2}-1}$=0，
化簡，得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0，
∴2k×$\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$-（m-k）（$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$）-2m．整理得m=-2k．
∴直線MN的方程為y=k（x-2），
∴直線MN過定點，該定點的坐標為（2，0）．

點評 本題考查橢圓的標準方程及離心率公式，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．