Question

2．設函數f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$．
求（1）函數f（x）的單調區間；
（2）當x＞0時，求證：e^x≥ex．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）根據函數的單調性求出f（x）的最小值是f（1）=e，從而證明結論即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：x＜1，
故f（x）在（-∞，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）由（1）f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
故f（x）_min=f（1）=e，
故$\frac{{e}^{x}}{x}$≥e，即e^x≥ex．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及不等式的證明，是一道中檔題．