【題目】已知橢圓
的離心率為
，
，
，
，
的面積為
．
（1）求橢圓
的方程；
（2）過右焦點
作與
軸不重合的直線
交橢圓于
，
兩點，連接
，
分別交直線
于，
，
兩點，若直線
，
的斜率分別為
，
，試問：
是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．
【答案】（1）
；（2）
為定值
，理由見解析
【解析】
（1）結合橢圓離心率、
的面積、
列方程組，解方程組求得
，由此求得橢圓的標準方程.
（2）當直線
斜率不存在時，求得
兩點的坐標，由此求得直線
的方程，進而求得
兩點的坐標，由此求得
，
，求得
.當直線斜率存在時，設直線方程為
，聯立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，求得直線的方程，進而求得兩點的坐標，由此求得，，結合韋達定理計算.由此證得為定值.
（1）由題意得
，
解得
，
所以橢圓
的方程為.
（2）由（1）知
，
，
①當直線斜率不存在時，直線方程為
，
聯立
，得
，
不防設
，
，
則直線
方程為
，
令
，得
，則
，
此時，
，
同理
，
所以
，
②當直線斜率存在時，設直線方程為，
聯立
，得
，
設
，
，
則
，
，
直線方程為
，
令，得
，則
，
同理
，
所以
，
，
所以
綜上所述，為定值.
靈星計算小達人系列答案
孟建平錯題本系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已如橢圓
，四點
中恰有三點在橢圓上.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設不經過左焦點的直線
交橢圓于A，B兩點，若直線
、、
的斜率依次成等差數列，求直線l的斜率k的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AA1=2，AB=1，E為AD中點，F為CC1中點.
（1）求證：AD⊥D1F；
（2）求證：CE//平面AD1F；
（3）求AA1與平面AD1F成角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某手機廠商在銷售某型號手機時開展“手機碎屏險”活動.用戶購買該型號手機時可選購“手機碎屏險”，保費為
元，若在購機后一年內發生碎屏可免費更換一次屏幕，為了合理確定保費的值，該手機廠商進行了問卷調查，統計后得到下表（其中
表示保費為元時愿意購買該“手機碎屏險”的用戶比例）：
（1）根據上面的數據計算得
，求出關于的線性回歸方程；
（2）若愿意購買該“手機碎屏險”的用戶比例超過
，則手機廠商可以獲利，現從表格中的
種保費任取
種，求這種保費至少有一種能使廠商獲利的概率.
附：回歸方程
中斜率和截距的最小二乘估計分別為
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某初級中學共有學生2000名,各年級男生女生人數如表: 已知在全校學生中隨機抽取1名,抽到的是初二年級女生的概率是0.19.
初一年級 | 初二年級 | 初三年級 | |
女生 | 373 | x | y |
男生 | 377 | 370 | z |
(1)求x的值.
(2)現用分層抽樣法在全校抽取48名學生,問應在初三年級學生中抽取多少名?
(3)已知y≥245,z≥245,求初三年級女生比男生多的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在某地區2008年至2014年中，每年的居民人均純收入y（單位：千元）的數據如下表：
對變量t與y進行相關性檢驗，得知t與y之間具有線性相關關系．
（1）求y關于t的線性回歸方程；
（2）預測該地區2016年的居民人均純收入．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
(
)的左、右焦點分別是
，
，點
為
的上頂點，點
在上，
，且
.
（1）求的方程；
（2）已知過原點的直線
與橢圓交于
，
兩點，垂直于的直線
過且與橢圓交于
，
兩點，若
，求
.
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