Question

【題目】在長方體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AA1=2，AB=1，E為AD中點，F為CC1中點.

（1）求證：AD⊥D1F；

（2）求證：CE//平面AD1F；

（3）求AA1與平面AD1F成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

長方體中有垂直關系，因此以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，

（1）求出兩條直線的方向向量，由向量垂直得直線垂直；

（2）求直線方向向量，平面的法向量，由方向向量與法向量垂直，證得線面平行；

（3）求直線方向向量，平面的法向量，由直線方向向量與平面法向量夾角的余弦值的絕對值等于線面角的正弦值，再計算余弦值．

（1）證明：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，

A（1，0，0），D（0，0，0），D1（0，0，2），F（0，1，1），

=（-1，0，0），=（0，1，-1），

=0，

∴AD⊥D1F.

（2）證明：E（，0，0），C（0，1，0），A（1，0，0），

D1（0，0，2），F（0，1，1），

=（，-1，0）， =（-1，0，2）， =（-1，1，1），

設平面AD1F的法向量=（x，y，z），

則，取z=1，得=（2，1，1），

∵==0，CE平面AD1F，

∴CE//平面AD1F.

（3）解：=（0，0，2），平面AD1F的法向量=（2，1，1），

設AA1與平面AD1F成角為θ，

則sinθ===，

cosθ==.

∴AA1與平面AD1F成角的余弦值為.