Question

【題目】已知數列{an}中，a1=3，an+1+an=32n ， n∈N* ．
（1）證明數列{an﹣2n}是等比數列，并求數列{an}的通項公式；
（2）在數列{an}中，是否存在連續三項成等差數列？若存在，求出所有符合條件的項；若不存在，請說明理由；
（3）若1＜r＜s且r，s∈N* ， 求證：使得a1 ， ar ， as成等差數列的點列（r，s）在某一直線上．

Answer 1

【答案】
（1）證明：將已知條件 變形為

由于a1﹣2=3﹣2=1≠0，則 （常數）

即數列 是以1為首項，公比為﹣1的等比數列

所以 =（﹣1）n﹣1，即 +（﹣1）n﹣1（n∈N*）

（2）解：假設在數列{an}中存在連續三項成等差數列，不妨設連續的三項依次為ak﹣1，ak，ak+1（k≥2，k∈N*），由題意得，2ak=ak﹣1+ak+1，

將 ， ， 代入上式得

2[2k+（﹣1）k﹣1]=[2k﹣1+（﹣1）k﹣2]+[2k+1+（﹣1）k]

化簡得，﹣2k﹣1=4（﹣1）k﹣2，即2k﹣1=4（﹣1）k﹣1，得（﹣2）k﹣1=4，解得k=3，

所以，存在滿足條件的連續三項為a2，a3，a4成等差數列

（3）證明：若a1，ar，as成等差數列，則2ar=a1+as，

即2[2r+（﹣1）r﹣1]=3+2s+（﹣1）s﹣1，變形得2s﹣2r+1=2（﹣1）r﹣1﹣（﹣1）s﹣1﹣3

由于若r，s∈N*且1＜r＜s，下面對r、s進行討論：

①若r，s均為偶數，則2s﹣2r+1＜0，解得s＜r+1，與1＜r＜s矛盾，舍去；

②若r為奇數，s為偶數，則2s﹣2r+1=0，解得s=r+1；

③若r為偶數，s為奇數，則2s﹣2r+1＜0，解得s＜r+1，與1＜r＜s矛盾，舍去；

④若r，s均為奇數，則2s﹣2r+1＜0，解得s＜r+1，與1＜r＜s矛盾，舍去；

綜上①②③④可知，只有當r為奇數，s為偶數時，a1，ar，as成等差數列，

此時滿足條件點列（r，s）落在直線y=x+1（其中 為正奇數）上

【解析】（1）將條件變形，構造符合條件的數列，即可證明數列{an﹣2n}是等比數列，從而可求數列{an}的通項公式；（2）假設在數列{an}中存在連續三項成等差數列，代入相應的項，化簡可得結論；（3）若a1 ， ar ， as成等差數列，則2ar=a1+as ， 代入變形整理，對r、s進行討論，可得結論．
【考點精析】掌握數列的通項公式是解答本題的根本，需要知道如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．