Question

【題目】已知函數.

（1）求的單調區間；

（2）設曲線與軸正半軸的交點為,曲線在點處的切線方程為,

求證:對于任意的正實數,都有；

（3）若方程為實數）有兩個正實數根且,求證: .

Answer 1

【答案】（1）單調遞增區間是 ,單調遞減區間是；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）求出原函數的導函數，得到導函數的零點，由零點對定義域分段，根據導函數在各區間段內的符號得到原函數的單調性；（2）設出點的坐標，利用導數求出切線方程，構造輔助函數，利用導數得到對于任意實數，有，即對任意實數，都有；（3）由（2）知， ，求出方程的根， ，由在單調遞減，得到，同理得到，根據不等式性質則可證得.

試題解析：（1）由,可得,當 ,即 時,函數 單調遞增;當 ,即 時,函數 單調遞減.所以函數 的單調遞增區間是 ,單調遞減區間是.

（2）設 ,則 , 曲線 在點P處的切線方程為 ,即,令 即 則.

由于在 單調遞減,故在 單調遞減,又因為,所以當時, ,所以當時, ,所以 在單調遞增,在單調遞減,所以對任意的實數x, ,對于任意的正實數,都有.

（3）由（2）知 ,設方程 的根為 ,可得,因為在 單調遞減,又由（II）知 ,所以 .類似的,設曲線 在原點處的切線為 可得 ,對任意的,有 即 .設方程 的根為 ,可得 ,因為 在 單調遞增,且 ,因此, 所以 .