Question

如圖所示，在三棱錐中，平面，，分別是的中點，，與交于，與交于點，連接。

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值。

Answer 1

（Ⅰ）見解析 （Ⅱ）

解法一 （Ⅰ）在中，分別是的中點，則是的重心，
同理，所以，因此
又因為是的中位線，所以.
（Ⅱ）解法1 因為 ，所以,又，
所以平面，平面，
為二面角的平面角，
不妨設由三角形知識可得
由余弦定理得
解法2分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，不妨設則
設平面的法向量為，則
，所以，令得
同理求得平面的一個法向量為，
因此
由圖形可知二面角的余弦值為
解法二（Ⅰ）證明：因為分別是的中點，
所以∥,∥，所以∥，
又平面，平面，
所以∥平面，
又平面,平面平面，
所以∥，
又∥，
所以∥.
（Ⅱ）解法一：在△中, ,,
所以，即,因為平面,所以，
又，所以平面，由（Ⅰ）知∥,
所以平面，又平面，所以，同理可得，
所以為二面角的平面角，設,連接，
在△中，由勾股定理得，，
在△中，由勾股定理得，，
又為△的重心，所以
同理 ,
在△中，由余弦定理得，
即二面角的余弦值為.
解法二：在△中，,,
所以，又平面,所以兩兩垂直，
以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則,,,，,,所以,,,,
設平面的一個法向量為，
由，,
得
取，得.
設平面的一個法向量為
由，,
得
取，得.所以
因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.
【考點定位】本題考查了空間直線的位置關系的判定和二面角的求法，考查了空間想象能力、推理論證能力和運算能力。第一問主要涉及平面幾何的圖形性質，中點形成的平行線是常考點之一，論證較為簡單。第二問有兩種方法可以解決，因圖形結構的簡潔性，推理論證較為簡單，而利用空間向量運算求解二面角就相對復雜了.