Question

如圖1,在等腰直角三角形中,,,分別是上的點(diǎn),,
為的中點(diǎn).將沿折起,得到如圖2所示的四棱錐,其中.

(Ⅰ) 證明:平面；
(Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

(Ⅰ)見(jiàn)解析 (Ⅱ)

(Ⅰ) 在圖1中,易得
連結(jié),在中,由余弦定理可得

由翻折不變性可知,
所以,所以,
理可證, 又,所以平面.

(Ⅱ) 傳統(tǒng)法:過(guò)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于,連結(jié),
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015538824443.png" style="vertical-align:middle;" />平面,所以,
所以為二面角的平面角.
結(jié)合圖1可知,為中點(diǎn),故,從而
所以,所以二面角的平面角的余弦值為.
向量法:以點(diǎn)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,

則,,
所以,
設(shè)為平面的法向量,則
,即,解得,令,得
由(Ⅰ) 知,為平面的一個(gè)法向量,
所以,即二面角的平面角的余弦值為.
解決折疊問(wèn)題，需注意一下兩點(diǎn)：1.一定要關(guān)注“變量”和“不變量”在證明和計(jì)算中的應(yīng)用:折疊時(shí)位于棱同側(cè)的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系不變;位于棱兩側(cè)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系變；2.折前折后的圖形結(jié)合起來(lái)使用.如本題第一問(wèn)，關(guān)鍵是由翻折不變性可知,借助勾股定理進(jìn)行證明垂直關(guān)系；（2）利用三垂線(xiàn)定理法或者空間向量法求解二面角. 求二面角：關(guān)鍵是作出或找出其平面角，常用做法是利用三垂線(xiàn)定理定角法，先找到一個(gè)半平面的垂線(xiàn)，然后過(guò)垂足作二面角棱的垂線(xiàn)，再連接第三邊，即可得到平面角。若考慮用向量來(lái)求：要求出二個(gè)面的法向量，然后轉(zhuǎn)化為,要注意兩個(gè)法向量的夾角與二面角可能相等也可能互補(bǔ)，要從圖上判斷一下二面角是銳二面角還是鈍二面角，然后根據(jù)余弦值確定相等或互補(bǔ)即可。
【考點(diǎn)定位】考查折疊問(wèn)題和二面角的求解，考查空間想象能力和計(jì)算能力.