Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）過點M（2，1），且離心率為 ． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設A（0，﹣1），直線l與橢圓C交于P，Q兩點，且|AP|=|AQ|，當△OPQ（O為坐標原點）的面積S最大時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵橢圓C： =1（a＞b＞0）過點M（2，1），且離心率為 ， ∴ ，又a2=b2+c2 ，
解得a=2 ，b= ，
∴橢圓C的方程為 ．
（Ⅱ）由題意知直線l的斜率k存在，
①當k=0時，設直線l的方程為y=y0 ， P（﹣x0 ， y0），Q（x0 ， y0），
則 ，
∴S= |2x0||y0|=|x0||y0|=2 ≤ =2，
當且僅當 =2﹣ ，即|y0|=1時，取等號，
此時直線l的方程為y=±1．
②當k≠0時，可設直線l的方程為y=kx+m，P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），
聯立 ，消去y，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣2）=0，
由△=（8km）2﹣4（1+4k2）4（m2﹣2）＞0，
解得8k2+2＞m2 ， （*）
， ，
∴PQ中點為（﹣ ， ），
∵|AP|=|AQ|，∴ ，化簡得1+4k2=3m，
結合（*）得0＜m＜6，
又O到直線l的距離d= ，
|PQ|= |x1﹣x2|= ，
∴S= |PQ|d= = = ，
∴當m=3時，S取最大值2，此時k= ，直線l的方程為y= ．
綜上所述，直線l的方程為y=±1或y=
【解析】（Ⅰ）由橢圓過點M（2，1），且離心率為 ，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程；（Ⅱ）由題意知直線l的斜率k存在，當k=0時，直線l的方程為y=±1．當k≠0時，可設直線l的方程為y=kx+m，聯立 ，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣2）=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線距離公式，結合已知條件能求出直線l的方程．
【考點精析】掌握橢圓的標準方程是解答本題的根本，需要知道橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．