Question

【題目】已知函數發f（x）=（x+1）lnx﹣ax+2．
（1）當a=1時，求在x=1處的切線方程；
（2）若函數f（x）在定義域上具有單調性，求實數a的取值范圍；
（3）求證： ，n∈N* ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時，f（x）=（x+1）lnx﹣x+2，（x＞0），

f′（x）=lnx+ ，f′（1）=1，f（1）=1，

所以求在x=1處的切線方程為：y=x﹣1

（2）解：f′（x）=lnx+ +1﹣a，（x＞0）．

（i）函數f（x）在定義域上單調遞減時，

即a≥lnx+ 時，令g（x）=lnx+ ，

當x＞ea時，g′（x）＞0，不成立；

（ii）函數f（x）在定義域上單調遞增時，a≤lnx+ ；

令g（x）=lnx+ ，

則g′（x）= ，x＞0；

則函數g（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增；

所以g（x）≥2，故a≤2

（3）證明：由（ii）得當a=2時f（x）在（1，+∞）上單調遞增，

由f（x）＞f（1），x＞1得（x+1）lnx﹣2x+2＞0，

即lnx＞ 在（1，+∞）上總成立，

令x= 得ln ＞ ，

化簡得：ln（n+1）﹣lnn＞ ，

所以ln2﹣ln1＞ ，

ln3﹣ln2＞ ，…，

ln（n+1）﹣lnn＞ ，

累加得ln（n+1）﹣ln1＞ ，

即 ln（n+1），n∈N*命題得證

【解析】（1）求出函數的導數，計算f（1），f′（1），求出切線方程即可；（2）求出函數的導數，通過討論函數遞減和函數遞增，從而求出a的范圍即可；（3）令a=2，得：lnx＞ 在（1，+∞）上總成立，令x= ，得ln ＞ ，化簡得：ln（n+1）﹣lnn＞ ，對x取值，累加即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．