Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

（1）求的解析式；

（2）判斷方程在內(nèi)的解的個(gè)數(shù)，并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）方程在上有3個(gè)解；證明見解析。

【解析】

（1）根據(jù)直線的切線方程，可得斜率即過的定點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，代入橫坐標(biāo)即可求得參數(shù)a；將橫坐標(biāo)帶入原函數(shù)即可求得b，即得解析式。

（2）令，對(duì)求導(dǎo)，并可知，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理及單調(diào)性可知在上只有一個(gè)零點(diǎn)。同理，討論在各區(qū)間的端點(diǎn)符號(hào)及單調(diào)性即可判斷零點(diǎn)情況。

（1）直線的斜率為，過點(diǎn)

，則，即

所以

（2）方程在上有3個(gè)解。

證明：令，

則

又，，

所以在上至少有一個(gè)零點(diǎn)

又在上單調(diào)遞減，故在上只有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，故，

所以函數(shù)在上無零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，令，，

所以在上單調(diào)遞增，，

所以，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

又，，所以函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn).

綜上，方程在上有3個(gè)解.