Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁＝2，底面是邊長為1的正方形，E、F分別是棱B₁B、DA的中點(diǎn)．
(1)求二面角D₁-AE-C的大小；
(2)求證：直線BF∥平面AD₁E.

Answer 1

（1）90°（2）見解析

(1)解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD₁分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖．

則相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為D₁(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)，∴＝(0，0，2)－(1，1，1)＝(－1，－1，1)，
＝(1，1，1)－(1，0，0)＝(0，1，1)，
＝(0，1，0)－(1，0，0)＝(－1，1，0)．
設(shè)平面AED₁、平面AEC的法向量分別為m＝(a，b，1)，n＝(c，d，1)．
由
由
∴m＝(2，－1，1)，n＝(－1，－1，1)，∴cosm，n=＝＝0，
∴二面角D₁AEC的大小為90°.
(2)證明：取DD₁的中點(diǎn)G，連結(jié)GB、GF.

∵E、F分別是棱BB₁、AD的中點(diǎn)，
∴GF∥AD₁，BE∥D₁G且BE＝D₁G，
∴四邊形BED₁G為平行四邊形，∴D₁E∥BG.
又D₁E、D₁A平面AD₁E，BG、GF∥平面AD₁E，
∴BG∥平面AD₁E，GF∥平面AD₁E.
∵GF、GB平面BGF，∴平面BGF∥平面AD₁E.
∵BF平面AD₁E，∴直線BF∥平面AD₁E.
(或者：建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量來證明直線BF∥平面AD₁E，亦可)