Question

如圖,平面平面,是以為斜邊的等腰直角三角形,分別為,,的中點,,.

(1)設是的中點,證明:平面;
(2)證明:在內存在一點,使平面,并求點到,的距離.

Answer 1

(1)詳見解析， (2) 到,的距離為.

試題分析：(1) 證明線面平行，關鍵在于找出線線線平行.本題中點較多，易從中位線上找平行.取線段
中點，連接則所以為平行四邊形，因此運用線面平行判定定理時，需寫
全定理所需所有條件.(2) 在內找一點，利用空間向量解決較易. 利用平面平面,建立空間直角坐標系O,點M的坐標可設為.利用平面，可解出，但需驗證點M滿足的內部區(qū)域，再由點M的坐標得點到,的距離為.
試題解析：證明:(1)如圖,連結OP,以O為坐標原點,分別以OB、OC、OP所在直線為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系O, 則,由題意得,因,因此平面BOE的法向量,得,又直線不在平面內,因此有平面       6分
(2)設點M的坐標為,則,因為平面BOE,所以有,因此有,即點M的坐標為,在平面直角坐標系中,的內部區(qū)域滿足不等式組,經檢驗,點M的坐標滿足上述不等式組,所以在內存在一點,使平面,由點M的坐標得點到,的距離為.       12分