Question

如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，⊥底面．
 
(1)證明：平面平面；
(2)若二面角為，求與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；(2).

試題分析：(1)可以遵循思路面面垂直線面垂直線線垂直,即證明面面垂直只需要證明其中一個面里面的一條直線垂直與另外一個面即可,即證明面PDB,線面垂直只需要證明BC與面內相交的兩條直線垂直即可,即BD, PD,前者可有三角形的勾股定理證得，后者由線面垂直得到
(2)求線面夾角可以利用三維空間直角坐標系,分別以DA,DB,PD三條兩兩垂直的直線建立坐標系,求面法向量與直線的夾角的余弦值的絕對值即為線面夾角的余弦值.
試題解析：
(1)∵∴
又∵⊥底面∴
又∵∴平面
而平面 ∴平面平面               5分
(1)由（1）所證，平面 ,所以∠即為二面角P-BC-D的平面角，即∠
而，所以                    7分
分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系．則，，， ,所以，，，,設平面的法向量為，則,即可解得∴與平面所成角的正弦值為           12分