Question

在直角梯形中，，，，如圖，把沿翻折，使得平面平面．

（1）求證：；
（2）若點(diǎn)為線(xiàn)段中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離；
（3）在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

(1)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析;（2）  （3）存在

試題分析：
（1）據(jù)題意，要證明，由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)例一得到只需要證明DC面ABD，又有面ABD與面BCD垂直，故根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，只需要證明DC垂直于面ABD與面BCD的交線(xiàn)BD,DC與BC垂直的證明可以放在直角梯形中利用勾股定理與余弦定理證明，三角形BCD為直角三角形.
（2）由（1）得平面，所以．以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸，利用三維空間直角坐標(biāo)系即可求的點(diǎn)面距離，即首先求出線(xiàn)段MC與面ADC的法向量的夾角，再利用三角函數(shù)值即可求的點(diǎn)面距離.此外，該題還可以利用等體積法來(lái)求的點(diǎn)面距離，即三棱錐M-ADC的體積，分別以M點(diǎn)為頂點(diǎn)和以A點(diǎn)為定點(diǎn)來(lái)求解三棱錐的體積，解出高即為點(diǎn)面距離.
（3）該問(wèn)利用坐標(biāo)法最為簡(jiǎn)潔，在第二問(wèn)建立的坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，設(shè),，利用來(lái)表示N點(diǎn)的坐標(biāo)，求出面ACD的法向量，法向量與AN所成的夾角即為與平面所成角為的余角，利用該條件即可求出的值，進(jìn)而得到N點(diǎn)的位置.
試題解析：
（1）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035507599593.png" style="vertical-align:middle;" />，
，，所以，，                      1分
，  2分
 ，所以        3分．
因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035507692467.png" style="vertical-align:middle;" />平面,平面平面，
所以平面                      4分．
又平面，所以          5分．

（2）解法1：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035507973429.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以．以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)為軸，所在直線(xiàn)為軸,過(guò)點(diǎn)作垂直平面的直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．由已知，得，，，，．所以，，．  7分．設(shè)平面的法向量為，則，，所以令，得平面的一個(gè)法向量為   9分
所以點(diǎn)到平面的距離為         10分．
解法2：由已知條件可得，，所以．
由（1）知平面，即為三棱錐的高，
又，所以          7分．
由平面得到，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
則                8分．
所以，，                          9分．
因?yàn)辄c(diǎn)為線(xiàn)段中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為  10分．
解法3：因?yàn)辄c(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的．  6分 由已知條件可得，由（I）知,又，
所以平面，                             8分
所以點(diǎn)到平面的距離等于線(xiàn)段的長(zhǎng)．       9分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035509876542.png" style="vertical-align:middle;" />，所以點(diǎn)到平面的距離等于．  10分
（3）假設(shè)在線(xiàn)段上存在點(diǎn)，使得與平面所成角為  11分．
設(shè),，，則，所以，．                              12分 
又平面的一個(gè)法向量為，且直線(xiàn)與平面所成的角為，
所以， 即，
可得， 解得或（舍去）．   13分
綜上所述，在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角為，
此時(shí)．      14分．