Question

【題目】已知函數f（x）= ．
（ I）判斷f（x）的奇偶性；
（ II）求證：f（x）+f（ ）為定值；
（III）求 + + +f（1）+f（2015）+f（2016）+f（2017）的值．

Answer 1

【答案】解：（I）∵函數f（x）= ．
∴函數f（x）= 的定義域R，定義域關于原點對稱．
又 ，
∴f（x）是偶函數．…（4分）
證明：（Ⅱ）∵ ，
∴ 為定值．
解：（Ⅲ）由（II）知 ，
+ + +f（1）+f（2015）+f（2016）+f（2017）
=
=0+f（1）=0．
【解析】（I）先求出函數f（x）的定義域關于原點對稱，再由f（﹣x）=f（x），得到f（x）是偶函數．（Ⅱ）推導出f（ ）=﹣f（x），由此能證明 為定值．（Ⅲ）由 ，能求出 + + +f（1）+f（2015）+f（2016）+f（2017）的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的奇偶性的相關知識，掌握偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱，以及對函數的值的理解，了解函數值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數的單調性法．