Question

【題目】已知函數 (是常數),

（1）求函數的單調區間；

（2）當時，函數有零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（Ⅱ）或.

【解析】試題分析：

(1)首先求解導函數，然后結合參數的范圍分類討論即可得到函數的單調區間；

(2)結合(1)的結論討論函數的最值，結合題意得到關于實數a的不等式，求解不等式可得的取值范圍是或.

試題解析：

（1） 根據題意可得，當時， ,函數在上是單調遞增的，在上是單調遞減的，

當時， ,因為,

令，解得或

①當時，函數在， 上有，即，函數單調遞減；函數在上有，即，函數單調遞增；

②當時，函數在上有，即，函數單調遞增；函數在上有，即，函數單調遞減；

綜上所述，當時，函數的單調遞增區間，遞減區間為；

當時，函數的單調遞減區間為，遞增區間為；

當時，函數的單調遞增區間為，遞減區間為；

（1）①當時， 可得，故可以；

②當時，函數的單調遞減區間為，遞增區間為，

（Ⅰ） 若，解得；

可知： 時， 是增函數， 時， 是減函數，

由在上；

解得，所以；

（Ⅱ）若，解得；

函數在上遞增，

由，則，解得

由，即此時無解，所以；

③當時，函數在上遞增，類似上面時，此時無解，

綜上所述， 或.