Question

【題目】定義：如果函數(shù)y=f（x）在定義域內(nèi)給定區(qū)間[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），滿足f（x0）= ，則稱函數(shù)y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，x0而是它的一個(gè)均值點(diǎn)． 例如y=|x|是[﹣2，2]上的“平均值函數(shù)”，0就是它的均值點(diǎn)．給出以下命題：
①函數(shù)f（x）=sinx﹣1是[﹣π，π]上的“平均值函數(shù)”；
②若y=f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”，則它的均值點(diǎn)x0≤ ；
③若函數(shù)f（x）=x2+mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m∈（﹣2，0）；
④若f（x）=lnx是區(qū)間[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個(gè)均值點(diǎn)，則lnx0＜ ．
其中的真命題有（寫出所有真命題的序號(hào)）．

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：①∵ =0，而f（ ）=0， ∴f（x）=sinx﹣1是[﹣π，π]上的“平均值函數(shù)”，故①正確；②若f（x）=0，則 =0，顯然（a，b）上的任意1個(gè)數(shù)都是f（x）的均值點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；③若函數(shù)f（x）=x2+mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函數(shù)”，
則區(qū)間（﹣1，1）上存在x0使得f（x0）= =m，
即x02+mx0﹣1=m，∴m= =﹣x0﹣1，
∵x0∈（﹣1，1），∴m∈（﹣2，0）．故③正確；④若f（x）=lnx是區(qū)間[a，b]（b＞a≥1）上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個(gè)均值點(diǎn)，
∴l(xiāng)nx0= = ，則lnx0﹣ = ﹣ ．
令 =t，則b=at2（t＞1），
∴ ﹣ = ﹣ = （ ）= （2lnt﹣t+ ），
令g（t）=2lnt﹣t+ ，則g′（t）= = = ＜0，
∴g（t）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
∴g（t）＜g（1）=0，
∴ ﹣ ＜0，即lnx0＜ ，故④正確．
所以答案是：①③④．