Question

【題目】已知頂點為原點O的拋物線C1的焦點F與橢圓C2： =1（a＞b＞0）的右焦點重合，C1與C2在第一和第四象限的交點分別為A、B．
（1）若△AOB是邊長為2 的正三角形，求拋物線C1的方程；
（2）若AF⊥OF，求橢圓C2的離心率e；
（3）點P為橢圓C2上的任一點，若直線AP、BP分別與x軸交于點M（m，0）和N（n，0），證明：mn=a2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓的右焦點為F（c，0），依題意得拋物線的方程為y2=4cx

∵△AOB是邊長為2 的正三角形，

∴點A的坐標是 ，

代入拋物線的方程y2=4cx解得 ，

故所求拋物線C1的方程為y2=x

（2）解：∵AF⊥OF，∴點A的橫坐標是c

代入橢圓方程解得 ，即點A的坐標是

∵點A在拋物線y2=4cx上，

∴ ，

將b2=a2﹣c2代入上式整理得： ，

即e2+2e﹣1=0，解得

∵0＜e＜1，故所求橢圓C2的離心率

（3）證明：設P（x1，y1），A（x2，y2），B（x2，﹣y2），

代入橢圓方程得

而直線PA的方程為（x2﹣x1）（y﹣y1）+（x﹣x1）（y1﹣y2）=0

令y=0得

在 中，以﹣y2代換y2得

∴ =

【解析】（1）確定點A的坐標是 ，代入拋物線的方程y2=4cx，求出c，即可求得拋物線C1的方程；（2）若AF⊥OF，可求A的坐標，代入拋物線的方程y2=4cx，結合b2=a2﹣c2 ， 即可求橢圓C2的離心率e；（3）利用直線PA、PB的方程，令y=0得m，n的值，即可證明結論．