Question

【題目】已知正項數列的前項和為，且，，數列滿足，且

（I）求數列，的通項公式；

（II）令，求數列的前項和。

Answer 1

【答案】（I），；（II）

【解析】

（I）利用求得；根據求得，從而可知是等差數列，從而利用等差數列通項公式求得結果；利用可證得，可知數列的奇數項成等比、偶數項成等比，分別求解出為奇數和為偶數兩種情況下的通項公式即可；（II）由（I）可得，采用分組求和的方式；對采用錯位相減法求和；對分為為奇數和為偶數兩種情況來討論；從而可對兩個部分加和得到結果.

（I）當時，，即

由可得

即：

又 是公差為，首項為的等差數列

由題意得：

由兩式相除得：

是奇數時，是公比是，首項的等比數列

同理是偶數時是公比是，首項的等比數列

綜上：

（II），即

令的前項和為，則

兩式相減得：

令的前項和為

綜上：