Question

【題目】如圖所示，是某海灣旅游區(qū)的一角，其中，為了營(yíng)造更加優(yōu)美的旅游環(huán)境，旅游區(qū)管委會(huì)決定在直線海岸和上分別修建觀光長(zhǎng)廊和AC，其中是寬長(zhǎng)廊，造價(jià)是元/米，是窄長(zhǎng)廊，造價(jià)是元/米，兩段長(zhǎng)廊的總造價(jià)為120萬元，同時(shí)在線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處建一個(gè)觀光平臺(tái)，并建水上直線通道（平臺(tái)大小忽略不計(jì)），水上通道的造價(jià)是元/米．

(1) 若規(guī)劃在三角形區(qū)域內(nèi)開發(fā)水上游樂項(xiàng)目，要求的面積最大，那么和的長(zhǎng)度分別為多少米？

(2) 在(1)的條件下，建直線通道還需要多少錢？

Answer 1

【答案】（1）和AC的長(zhǎng)度分別為750米和1500米（2）萬元

【解析】

試題（1）設(shè)長(zhǎng)為米，長(zhǎng)為米，依題意得，即，表示面積,利用基本不等式可得結(jié)論；（2）利用向量方法，將表示為，根據(jù)向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)的關(guān)系可得結(jié)果.

試題解析：（1）設(shè)長(zhǎng)為米，長(zhǎng)為米，依題意得，

即，

=

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，

所以當(dāng)的面積最大時(shí)，和AC的長(zhǎng)度分別為750米和1500米

（2）在(1)的條件下，因?yàn)?/span>．

由

得

，

元

所以，建水上通道還需要萬元．

解法二：在中，

在中，

在中，

=

元

所以，建水上通道還需要萬元．

解法三：以A為原點(diǎn)，以AB為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，

,即，設(shè)

由，求得， 所以

所以，

元

所以，建水上通道還需要萬元．