Question

【題目】函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω，0，|φ|＜ ）的部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數F（x）=3[f（x﹣ ）]2+mf（x﹣ ）+2在區間[0， ]上有四個不同零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根據f（x）=Asin（ωx+φ）的部分圖象知，

A=1， = ﹣ = ，

∴T=π，

∴ω= =2；

由“五點法畫圖”知，

2× +φ= ，解得φ= ；

∴函數f（x）=sin（2x+ ）；

（Ⅱ）∵f（x﹣ ）=sin（2x﹣ + ）=sin2x，

∴函數F（x）=3[f（x﹣ ）]2+mf（x﹣ ）+2

=3sin2（2x）+msin2x+2；

在區間[0， ]上有四個不同零點，

設t=sin2x，由x∈[0， ]，得2x∈[0，π]，即sin2x∈[0，1]，

∴t∈[0，1]，

令F（x）=0，則3t2+mt+2=0在[0，1]上有兩個不等的實數根，

令g（t）=3t2+mt+2

則由 ，解得﹣5＜m＜﹣2 ；

∴實數m的取值范圍是﹣5＜m＜﹣2

【解析】（Ⅰ）根據f（x）的部分圖象求出A、ω以及φ的值即可；（Ⅱ）求出f（x﹣ ）=sin2x，化簡函數F（x），

根據題意設t=sin2x，則由x∈[0， ]時t∈[0，1]，

把F（x）=0化為3t2+mt+2=0在[0，1]上有兩個不等的實數根，

由此求出實數m的取值范圍．