Question

【題目】已知平面區域 恰好被面積最小的圓C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其內部所覆蓋．
（1）試求圓C的方程．
（2）若斜率為1的直線l與圓C交于不同兩點A，B滿足CA⊥CB，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知此平面區域表示的是以

O（0，0），P（4，0），Q（0，2）構成的三角形及其內部，

且△OPQ是直角三角形，

所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，故圓心是（2，1），半徑是 ，

所以圓C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5

（2）解：設直線l的方程是：y=x+b．

因為 ，所以圓心C到直線l的距離是 ，

即 =

解得：b=﹣1 ．

所以直線l的方程是：y=x﹣1

【解析】（1）根據題意可知平面區域表示的是三角形及其內部，且△OPQ是直角三角形，進而可推斷出覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓，進而求得圓心和半徑，則圓的方程可得．（2）設直線l的方程是：y=x+b．根據CA⊥CB，可知圓心C到直線l的距離，進而求得b，則直線方程可得．
【考點精析】掌握一般式方程和圓的標準方程是解答本題的根本，需要知道直線的一般式方程：關于的二元一次方程（A，B不同時為0）；圓的標準方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程．