Question

【題目】橢圓 =1（a＞b＞0）上一點A關于原點的對稱點為B，F為其右焦點，若AF⊥BF，設∠ABF=α，且α∈[ ， ]，則該橢圓離心率的最大值為（ ）
A.
B.
C.
D.1

Answer 1

【答案】A
【解析】解：已知橢圓 =1（a＞b＞0）焦點在x軸上， 橢圓上一點A關于原點的對稱點為點B，F為其右焦點，設左焦點為F1 ，
則：連接AF，AF1 ， AF，BF
所以：四邊形AFF1B為長方形．
根據橢圓的定義：|AF|+|AF1|=2a，
∠ABF=α，則：∠AF1F=α．
∴2a=2ccosα+2csinα，即a=（cosα+sinα）c，
由橢圓的離心率e= = = ，
由α∈[ ， ]，
α+ ∈[ ， ]，
sin（α+ ）∈[ ，1]，
sin（α+ ）∈[ ， ]，
∈[ ， ]，
∴e∈[ ， ]，
故橢圓離心率的最大值 ．
故選A．