Question

已知數(shù)列滿足對(duì)任意的，都有且.
（1）求的值；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1） （2）.（3）

解析試題分析：（1）當(dāng)， 時(shí)直接代入條件且可求
（2）遞推一項(xiàng)，然后做差得，所以
由于a₂－a₁＝1，即當(dāng)時(shí)都有
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故
（3）由（2）知則
利用裂項(xiàng)相消法得Sn,根據(jù)單調(diào)遞增得
要使不等式對(duì)任意正整數(shù)恒成立，只要
可求得實(shí)數(shù)的取值范圍是.
試題解析：(（1）當(dāng)時(shí)，有，由于，所以
當(dāng)時(shí)，有，將代入上式，由于，所以
（2）由于，①
則有②
②－①，得
由于，所以③
同樣有()，④
③－④，得，所以
由于a₂－a₁＝1，即當(dāng)時(shí)都有
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故 
（3）由（2）知
則
所以
∵∴數(shù)列單調(diào)遞增．
所以
要使不等式對(duì)任意正整數(shù)恒成立，只要
∵
∴，即.所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
考點(diǎn)：不等式與數(shù)列綜合題.