在數(shù)列
中，
，且前n項的算術(shù)平均數(shù)等于第n項的
倍（
）.
（1）寫出此數(shù)列的前5項；
（2）歸納猜想的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.
（1）
；（2）
，證明過程詳見解析.
解析試題分析：（1）根據(jù)條件中描述前
項的算術(shù)平均數(shù)等于第項的倍
，可以得到相應(yīng)其數(shù)學(xué)表達(dá)式為
，結(jié)合，分別取
，
得
，
；（2）根據(jù)（1）中所求，可以猜測，利用數(shù)學(xué)歸納法，假設(shè)當(dāng)
時，結(jié)論成立，則當(dāng)
時，根據(jù)（1）中得到的式子，令，可以求得
，即當(dāng)時，猜想也成立，從而得證.
（1）由已知
，分別取，
得
，；
∴數(shù)列的前5項是：
6分；
（2）由（1）中的分析可以猜想 8分，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)
時，猜想顯然成立 9分，
②假設(shè)當(dāng)
時猜想成立，
即
10分，
那么由已知，得
，
即
.∴
，
即
，又由歸納假設(shè)，得
，
∴，即當(dāng)時，猜想也成立.
綜上①和②知，對一切，都有
成立 13分．
考點：1.數(shù)列的通項公式；2.數(shù)學(xué)歸納法.
名牌學(xué)校分層周周測系列答案
黃岡海淀全程培優(yōu)測試卷系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題
蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖. 其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以
表示第
幅圖的蜂巢總數(shù).則
=_____;=___________.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知數(shù)列
滿足對任意的
，都有
且
.
（1）求
的值；
（2）求數(shù)列的通項公式
；
（3）設(shè)數(shù)列
的前
項和為
，不等式
對任意的正整數(shù)恒成立，求實數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
數(shù)列
的前n項和記為
，點（n，）在曲線
（
）上
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)
，求數(shù)列
的前n項和
的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
設(shè)數(shù)列
的首項
，前
項和為
，且
，
，
成等差數(shù)列，其中
.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）數(shù)列
滿足：
，記數(shù)列的前項和為
，求及數(shù)列
的最大項.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)．
(1)寫出a2，a3的值(只寫結(jié)果)，并求出數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝
＋
＋
＋…＋
，若對任意的正整數(shù)n，當(dāng)m∈[－1,1]時，不等式t2－2mt＋
>bn恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
設(shè)函數(shù)
（其中
），區(qū)間
.
（1）求區(qū)間
的長度（注：區(qū)間
的長度定義為
）；
（2）把區(qū)間的長度記作數(shù)列
，令
，證明：
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2＋2n，數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝2－bn.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；
(2)設(shè)cn＝
·bn，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時，cn＋1<cn..
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是數(shù)列
的前
項和,向量
,
,且滿足
,則