Question

【題目】在平面直角坐標系中，橢圓： 的左、右焦點分別為，兩焦點與短軸的一個頂點構成等腰直角三角形，且點在橢圓上.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）如圖所示，過橢圓的左焦點作直線（斜率存在且不為0）交橢圓于兩點，過右焦點作直線交橢圓于兩點，且，直線交軸于點，動點（異于）在橢圓上運動.

①證明： 為常數；

②當時，利用上述結論求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）第（1）問，由兩焦點與短軸的一個頂點構成等腰直角三角形得到，再由點在橢圓上得到方程，最后解方程組即可得到橢圓的標準方程.(2)第（2）問第①問，先求出，再利用已知條件化簡得到為常數.第②問，先求出的三角函數表達式，再研究它的取值范圍.

試題解析：

(1)由兩焦點與短軸的一個頂點構成等腰直角三角形，可知，

所以橢圓的方程為，

又點在橢圓上，

所以，

故所求橢圓的標準方程為.

（2）①易知且不與軸垂直，

設， ，

由對稱性可知，

所以，從而，

因為點， 在橢圓上，

所以 ，

因此為常數.

②當時，可知，

由 ，

因此直線的方程為，

令，所以，且已知，

因此.

設（其中為參數），由點到直線的距離公式可知

（其中），

因此

，

當時， 最大為，且此時點與不重合.

無最小值.

所以的取值范圍是.