Question

【題目】橢圓C： 過點M（2，0），且右焦點為F（1，0），過F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點．設點P（4，3），記PA，PB的斜率分別為k1和k2 ．

（1）求橢圓C的方程；
（2）如果直線l的斜率等于﹣1，求出k1k2的值；
（3）探討k1+k2是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，求出k1+k2的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵a=2，又c=1，∴ ，∴橢圓方程為

（2）

解：直線l：y=﹣x+1，設A（x1，y1）B（x2，y2），

由 消y得7x2﹣8x﹣8=0，有 ，

（3）

解：當直線AB的斜率不存在時，不妨設A（1， ），B（1，﹣ ），

則 ， ，故k1+k2=2．

當直線AB的斜率存在時，設其為k，則直線AB：y=k（x﹣1），設A（x1，y1）B（x2，y2），

由 消y得（4k2+3）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）=0，有 ，

=

【解析】（1）利用已知條件求出b，即可求解橢圓方程．（2）直線l：y=﹣x+1，設AB坐標，聯立 利用韋達定理以及斜率公式求解即可．（3）當直線AB的斜率不存在時，不妨設A，B，求出斜率，即可；當直線AB的斜率存在時，設其為k，求直線AB：y=k（x﹣1），聯立直線與橢圓的方程組，利用韋達定理以及斜率公式化簡求解即可．