Question

設函數f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2014|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2014|，（x∈R），下列四個命題中真命題的序號是

 

．
（1）f（x）是偶函數；              
（2）不等式f（x）＜2013×2014的解集為∅；
（3）f（x）在（0，+∞）上是增函數；   
（4）方程f（a²-5a+6）=f（a-2）有無數個實根．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：由函數的解析式可得函數為偶函數，可得（1）正確；由絕對值的意義可得f（x）≥2014×2015，故（2）正確；由于f（

1

2

）=f（1），可得（3）不正確．
由f（a²-5a+6）=f（a-2），可得a²-5a+6=a-2，或 a²-5a+6=-（a-2 ），或

-1≤a2-5a+1≤1 -1≤a-2≤1

，求得a的值有無數個，可得（4）正確，從而得到答案．

解答： 解析：∵f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2014|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2014|，
∴f（-x）=|-x+1|+|-x+2|+…+|-x+2014|+|-x-1|+|-x-2|+…+|-x-2014|
=|1-x|+|2-x|+…+|2014-x|+|x+1|+|x+2|+…+|x+2014|=f（x），
∴f（x）為偶函數，故（1）正確．
根據絕對值的幾何意義可得f（x）=（|x+1|+|x-1|）+（|x+2|+|x-2|）+（|x+3|+|x-3|）+…+（|x+2014|+|x-2014|）
≥2+4+6+…+4028=

2014(2+4028)

2

=2014×2015，當且僅當-1≤x≤1時，取等號．
∴不等式f（x）＜2013×2014的解集為∅，故（2）正確．
由于f（

1

2

）=f（1），顯然函數f（x）在（0，+∞）上不是增函數，故（3）不正確．
由于f（a²-5a+6）=f（a-2），且函數f（x）為偶函數，∴a²-5a+6=a-2，或 a²-5a+6=-（a-2），或

-1≤a2-5a+1≤1 -1≤a-2≤1

．
解得a=2，或 a=4，或

5- 5

2

≤a≤3，故方程f（a²-5a+6）=f（a-2）有無數個實根，故（4）正確．
故答案為：（1）、（2）、（4）．

點評：本題主要考查絕對值的意義和性質，函數的奇偶性和單調性的應用，屬于中檔題．