Question

已知函數f（x）=2

3

sinxcosx+2sin²x-1．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當x∈[-

5π

12

，

π

6

]時，求函數f（x）的最大值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法,正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）利用兩角和公式和二倍角公式對函數解析式化簡整理，利用周期公式求得函數最小正周期．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的函數解析式，根據x的范圍利用正弦函數的單調性求得函數的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2

3

sinxcosx+2sin²x-1=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

）
∴T=

2π

2

=π，
（Ⅱ）∵x∈[-

5π

12

，

π

6

]，
∴2x-

π

6

∈[-π，

π

6

]，
∴sin（2x-

π

6

）∈[-1，

1

2

]，
∴2sin（2x-

π

6

）∈[-2，1]，
∴函數f（x）的最大值為1．

點評：本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，三角函數圖象與性質．考查了學生基礎知識的綜合運用．