Question

【題目】已知，，…，是由（）個整數，，…，按任意次序排列而成的數列，數列滿足（），，，…，是，，…，按從大到小的順序排列而成的數列，記.

（1）證明：當為正偶數時，不存在滿足（）的數列.

（2）寫出（），并用含的式子表示.

（3）利用，證明：及.（參考：.）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

(1)可用反證法證明,假設存在滿足的數列，由條件結合奇數、偶數的概念即可得證；(2)由題意可得，，再由累加法即可得到；

(3)由展開即可證得：

，再由排序定理:亂序之和不小于倒序之和.

（1）若（），

則有，于是.

當為正偶數時，為大于1的正奇數，故不為正整數，

因為，，…，均為正整數，

所以不存在滿足（）的數列，

（2）（）.

因為，

于是

.

（3）先證.

①，

這里，（），

因為，，…，為從到按任意次序排列而成，

所以，，…，為從到個整數的集合，

從而，

于是由①，得，

因此，，

即.

再證.

由，

得

因為，

即，

所以，

即.