Question

【題目】長軸長為的橢圓的中心在原點，其焦點，在軸上，拋物線的頂點在原點，對稱軸為軸，兩曲線在第一象限內相交于點， 且，的面積為3.

（1）求橢圓和拋物線的標準方程；

（2）過點作直線分別與拋物線和橢圓交于，，若，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1），；（2）．

【解析】

試題（1）根據實軸長為且，的面積為3列方程求出c,即可求橢圓方程，再根據點A的坐標求拋物線方程；（2）設直線的方程為，分別聯立橢圓和拋物線方程，根據根與系數的關系得和，再根據，聯立條件即可求出.

試題解析：

（1）設橢圓方程為，，，

由題意知，

解得，∴.橢圓的方程為.

∵，∴，代入橢圓的方程得，

將點坐標代入得拋物線方程為.

（2）設直線的方程為，，，

由，得，化簡得.

聯立直線與拋物線的方程得，

∴.①

聯立直線與橢圓的方程，

得，

∴.②

∴ ，

整理得：，∴，所以直線的斜率為.